Marta pochodzi ze sportowej, tenisowej rodziny. Jej tata Ołeh Kostyuk był m.in. organizatorem juniorskiego turnieju w Kijowie, Antey Cup. Mam, Talina Beiko zaś zawodową tenisistka, która na liście WTA zajmowała 391. pozycję.
W styczniu 2017 roku Kostyuk wygrała juniorski Australian Open. I jak do tej pory to jej największy sportowy sukces. 30 października 2017 r. Kostyuk zajął drugie miejsce w rankingu juniorów.
Kostyuk zadebiutowała w turnieju Wielkiego Szlema w Australian Open . Po otrzymaniu dzikiej karty do turnieju kwalifikacyjnego pokonała Arinę Rodionovą, Danielę Seguel i Barborę Krejčíkovą stając się pierwszą zawodniczką urodzoną w 2002 roku, która zagrała w głównym turnieju Grand Slam. Pokonując Peng Shuai w pierwszej rundzie, Kostyuk została najmłodszą tenisistką, która wygrała mecz w Melbourne od czasu Martiny Hingis (1996 r.). W drugiej rundzie pokonała Australijskę Olivię Rogowską przeszła do historii światowego tenisa jako najmłodszą zawodniczką, która dotarła do trzeciej rundy turnieju wielkoszlemowego od czasu, gdy Mirjana Lučić-Baroni osiągnęła ten sam etap podczas US Open w 1997 roku .
W 2020 r. na US Open pokonała w pierwszej rundzie byłą zawodniczkę z pierwszej dziesiątki Darię Kasatkinę. Następnie wyeliminowała byłą półfinalistkę Anastasiję Sevastovą, by w trzeciej rundzie ulec Naomi Osace 1:2.